Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Definição:

Um espaço vetorial real é um conjunto V de elementos juntamente com duas operações + e   que satisfazem as seguintes propriedades:

Se u e v são quaisquer elementos de V então u + v está em V (i. e., V é fechado em relação à operação +).

a)    u + v = v + u, para u e v em V.

b)    u + ( v + w) = ( u + v ) + w, para u, v e w em V.

c)     Há um elemento 0 em V tal que u + 0 = 0 + u, para todo u em V.

d)    Para todo u em V, há um elemento -u em V tal que u + -u = 0.

Se u é qualquer elemento de V e c é qualquer número real, então c  u está em V (i. e., V é fechado em relação à operação  ).

e)    c ∙ ( u + v ) = c ∙ u + c ∙ v, para todos os números reais c e todos u e v em V.

f)    ( c + d ) ∙ u = c ∙ u + d ∙ u, para todos os números reais c e d e todo u em V.

g)     c ∙ ( d ∙ u ) = ( cd ) ∙ u, para todos os números reais c e d e todo u em V.

h)    1 ∙ u = u, para todo u em V.

Teorema

Se V é um espaço vetorial, então:

a) 0  u = 0 Ɐ u ϵ V

b) c   0 = 0 Ɐ c ϵ R

c) se c  u = 0, então c = 0 ou u = 0

d) (-1)  u = - u  Ɐ u ϵ V


OBS: elementos em negrito são vetores e elementos em negrito e caixa alta são conjuntos

Referências

KOLMAN, Bernard; HILL, David R.; Introdução à álgebra linear com aplicações.