quarta-feira, 13 de maio de 2015

Exercícios Resolvidos de espaço vetorial

Determine se o conjunto dado V é fechado sob as operações + e \cdot .
1) V = (x,y,z), sendo x > 0 e y > 0
 (x,y,z) + (x',y',z') = (x + x', y + y', z + z')      e    c \cdot (x,y,z) = (cx, cy,cz).

Resolução:
para descobrir se um conjunto é fechado para as operações + e \cdot basta descobrir se ele é um espaço vetorial, ou seja ele atende aos oito axiomas.

Utilizaremos vetores genéricos:
u = (x1, y1, z1), v=  (x2, y2, z2), w= (X3, Y3, Z3) e c, d são constantes.

Em relação a operação +
A1) u + v= v + u
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x2, y2, z2) + (x1, y1, z1)
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ( x2 +x1,  y2+ y1, z2 + z1)
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

 A2) (u + v) + w = u + (v + w)

((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) + (X3, Y3, Z3) = (x1, y1, z1) + ((x2, y2, z2) + (X3, Y3, Z3))
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) + (X3, Y3, Z3) = (x1, y1, z1) + (x2 + X3, y2 + Y3, z2 + Z3)
(x1 + x2 + X3, y1 + y2 + Y3, z1 + z2 + Z3) = (x1 + x2 + X3, y1 + y2 + Y3, z1 +  z2 + Z3)

A3)  v + 0 = 0 + v = v
(x1, y1, z1) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (x1, y1, z1)
(x1 + 0, y1 + 0, z1 + 0) = (0 + x1, 0 + y1, 0 + z1)
(x1, y1, z1) = (x1, y1, z1) = (x1, y1, z1)

 A4) u +(-u) = 0
(x1, y1, z1) + (-x1, -y1, -z1) = 0
(x1-x1, y1-y1, z1-z1) = 0
(0,0,0) = 0
(0,0,0) = (0,0,0)

 Em relação a operação \cdot
A1) c \cdot  (u + v) = c \cdot u  + c \cdot v
c \cdot  ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = c \cdot (x1, y1, z1) + c \cdot (x2, y2, z2)
c \cdot  (x1+x2 , y1+y2, z1+y2) = (cx1, cy1,  cz1) + (cx2, cy2,cz2)
(cx1 + cx2, cy1 +cy2,  cz1+cy2) = (cx1 + cx2, cy1 +cy2,  cz1+cy2)

A2) (c + d) \cdot u = c \cdot u + d \cdot u
(c + d) (x1, y1, z1) = c \cdot (x1, y1, z1) + d \cdot (x1, y1, z1)
((c + d) \cdot x1,(c + d) \cdot y1, (c + d) \cdot z1) = (cx1, cy1,  cz1) + (dx1, dy1,  dz1)
(cx1 + dx1, cy1 + dy1,  cz1 + dz1) = (cx1 + dx1, cy1 + dy1,  cz1 + dz1)

A3) c \cdot  (d \cdot  u) = (cd) \cdot u
c \cdot  (d \cdot (x1, y1, z1) ) = (cd) \cdot (x1, y1, z1)
c \cdot  (dx1, dy1,  dy1) = (cdx1, cdy1,  cdy1)
(cdx1, cdy1,  cdy1) = (cdx1, cdy1,  cdy1)

A4) 1\cdot u = u
1\cdot (x1, y1, z1) = (x1, y1, z1)
(1x1, 1y1, 1z1) = (x1, y1, z1)
(x1, y1, z1) = (x1, y1, z1)

 Como todos os oito axiomas são satisfeitos o conjunto V é espaço vetorial.
2) V é o conjunto de todas as triplas ordenadas da forma (0,y,x).
(0,y,z) + (0,y',z') = (0, y+y', z+z')
c \cdot (0,y,z) = (0,0,cz)

 Resolução:
para descobrir se um conjunto é fechado para as operações + e \cdot basta descobrir se ele é um espaço vetorial, ou seja ele atende aos oito axiomas.
Utilizaremos vetores genéricos:
u = (0, y1, z1), v=  (0, y2, z2), w= (0, Y3, Z3) e c, d são constantes.
Em relação a operação +

 A1) u + v= v + u
(0, y1, z1) + (0, y2, z2) = (0, y2, z2) + (0, y1, z1)
(0, y1 + y2, z1 + z2) = (0,  y2+ y1, z2 + z1)
(0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2)
A2) (u + v) + w = u + (v + w)

((0, y1, z1) + (0, y2, z2)) + (0, Y3, Z3) = (0, y1, z1) + ((0, y2, z2) + (0, Y3, Z3))
(0, y1 + y2, z1 + z2) + (0, Y3, Z3) = (0, y1, z1) + (0, y2 + Y3, z2 + Z3)
(0, y1 + y2 + Y3, z1 + z2+ Z3) = (0, y1 + y2 + Y3, z1 + z2 + Z3)
A3)  v + 0 = 0 + v = v
(0, y1, z1) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (0, y1, z1)
(0, y1 + 0, z1 + 0) = (0, 0 + y1, 0 + z1)
(0, y1, z1) = (0, y1, z1) = (0, y1, z1)

 A4) u + (-u) = 0
(0, y1, z1) + (0, -y1, -z1) = 0
(0, y1-y1, z1-z1) = 0
(0,0,0) = 0
(0,0,0) = (0,0,0)

 Em relação a operação \cdot
A1) c \cdot  (u + v) = c \cdot u  + c \cdot v
c \cdot  ((0, y1, z1) + (0, y2, z2)) = c \cdot (0, y1, z1) + c \cdot (0, y2, z2)
c \cdot  (0, y1+y2, z1+y2) = (0, 0,  cz1) + (0, 0,cz2)
(0, 0,  cz1+cy2) = (0, 0,  cz1+cy2)

 A2) (c + d) \cdot u = c \cdot u + d \cdot u
(c + d) (0, y1, z1) = c \cdot (0, y1, z1) + d \cdot (0, y1, z1)
(0, 0, (c + d) \cdot z1) = (0, 0,  cz1) + (0, 0,  dy1)
(0, 0,  cz1 + dz1) = (0, 0,  cz1 + dz1)

 A3) c \cdot  (d \cdot  u) = (cd) \cdot u
c \cdot  (d \cdot (0, y1, z1) ) = (cd) \cdot (0, y1, z1)
c \cdot  (0, 0,  dy1) = (0, 0,  cdy1)
(0, 0,  cdy1) = (0, 0,  cdy1)

A4) 1\cdot u = u
1\cdot (0, y1, z1) = (0, y1, z1)
(0, 0, 1z1) = (0, y1, z1)
(0, 0, z1) ≠ (0, y1, z1)

 Como um dos oito axiomas não foi satisfeito (A4 da operação \cdot ) o conjunto V não é espaço vetorial.

 OBS: elementos em negrito são vetores e elementos em negrito e caixa alta são conjuntos

Referências

KOLMAN, Bernard; HILL, David R.; Introdução à álgebra linear com aplicações.
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