Subespaço

Subespaço

Definição:

Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não-vazio de V. Se W é um espaço vetorial em relação às operações em V, então W é chamado de um subespaço de V.

Teoremas

1. Seja V um espaço vetorial com as operações + e ∙ e seja W um subconjunto não-vazio de V. Então, W é um subespaço de V se e somente se as seguintes condições são válidas:

(α) Se u e  v  são quaisquer vetores em W , então u + v pertence a W. 
(β) Se c é qualquer número real e u é qualquer vetor em W, então c ∙ u pertence a W.

Obs.: a) Observe que o subespaço que consiste apenas no vetor nulo é um subespaço não-vazio.
b) Se um subconjunto W de um subespaço vetorial V não contém o vetor nulo, então W não é um subespaço de V. 


2. Seja S =  {v₁, v_{2, ...,} v_k} um conjunto de vetores em um espaço vetorial V. Então [S] é um subespaço de V.

Exemplos

Ex. 1: Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o subespaço {0} que consiste do vetor nulo, pois 0 + 0 = 0 e c ∙ 0 = 0, em qualquer espaço vetorial. O subespaço {0} é chamado de “subespaço nulo”.

Ex. 2: Seja W o subconjunto R^3, que abrange todos os vetores do tipo ( a, b, 0), onde a e b são quaisquer números reais, com as operações usuais de soma e multiplicação de vetores por escalar. Para verificar se W é um subespaço basta simplesmente verificar se do teorema 1 de subespaço, são válidas. Ou seja, precisamos verificar se W é fechado em relação às operações + e ∙.

          Sejam u = ( a₁, b_1, 0) e v = ( a₂, b₂, 0) vetores em W. Então, u + v = ( a₁, b_1, 0) + ( a₂, b₂, 0)  = (a₁ + a₂, b₁ + b_2, 0) pertence a W, uma vez que a terceira componente é zero. Além disso, se c é um escalar, então cu = c( a₁, b_1, 0) = ( ca₁, cb_1, 0) pertence a W. Assim, as propriedades (α) e (β) do teorema são válidas. Portanto, W é um subespaço de R³.

Ex. 3: Seja W o subconjunto de R³ que consiste em todos os vetores do tipo ( a, b, 1), onde a e b são quaisquer números reais. Para verificar se as propriedades (α) e (β) do teorema são válidas, seja u = ( a₁, b_1, 1) e v = ( a₂, b₂, 1) vetores em W. Então u + v = ( a₁, b_1, 1) + ( a₂, b₂, 1) = (a₁ + a₂, b₁ + b_2, 2) que não pertence a W, uma vez que a terceira componente é 2 e não 1. Como (α) do teorema não é válida, W não é um subespaço de R³.


OBS: elementos em negrito são vetores e elementos em negrito e caixa alta são conjuntos

Referências

KOLMAN, Bernard; HILL, David R.; Introdução à álgebra linear com aplicações.