Subespaço

Subespaço

Definição:

Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não-vazio de V. Se W é um espaço vetorial em relação às operações em V, então W é chamado de um subespaço de V.

Teoremas

1. Seja V um espaço vetorial com as operações + e ∙ e seja W um subconjunto não-vazio de V. Então, W é um subespaço de V se e somente se as seguintes condições são válidas:

(α) Se u e  v  são quaisquer vetores em W , então u + v pertence a W. 
(β) Se c é qualquer número real e u é qualquer vetor em W, então c ∙ u pertence a W.

Obs.: a) Observe que o subespaço que consiste apenas no vetor nulo é um subespaço não-vazio.
b) Se um subconjunto W de um subespaço vetorial V não contém o vetor nulo, então W não é um subespaço de V. 


2. Seja S =  {v₁, v_{2, ...,} v_k} um conjunto de vetores em um espaço vetorial V. Então [S] é um subespaço de V.

Exemplos

Ex. 1: Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o subespaço {0} que consiste do vetor nulo, pois 0 + 0 = 0 e c ∙ 0 = 0, em qualquer espaço vetorial. O subespaço {0} é chamado de “subespaço nulo”.

Ex. 2: Seja W o subconjunto R^3, que abrange todos os vetores do tipo ( a, b, 0), onde a e b são quaisquer números reais, com as operações usuais de soma e multiplicação de vetores por escalar. Para verificar se W é um subespaço basta simplesmente verificar se do teorema 1 de subespaço, são válidas. Ou seja, precisamos verificar se W é fechado em relação às operações + e ∙.

          Sejam u = ( a₁, b_1, 0) e v = ( a₂, b₂, 0) vetores em W. Então, u + v = ( a₁, b_1, 0) + ( a₂, b₂, 0)  = (a₁ + a₂, b₁ + b_2, 0) pertence a W, uma vez que a terceira componente é zero. Além disso, se c é um escalar, então cu = c( a₁, b_1, 0) = ( ca₁, cb_1, 0) pertence a W. Assim, as propriedades (α) e (β) do teorema são válidas. Portanto, W é um subespaço de R³.

Ex. 3: Seja W o subconjunto de R³ que consiste em todos os vetores do tipo ( a, b, 1), onde a e b são quaisquer números reais. Para verificar se as propriedades (α) e (β) do teorema são válidas, seja u = ( a₁, b_1, 1) e v = ( a₂, b₂, 1) vetores em W. Então u + v = ( a₁, b_1, 1) + ( a₂, b₂, 1) = (a₁ + a₂, b₁ + b_2, 2) que não pertence a W, uma vez que a terceira componente é 2 e não 1. Como (α) do teorema não é válida, W não é um subespaço de R³.


OBS: elementos em negrito são vetores e elementos em negrito e caixa alta são conjuntos

Referências

KOLMAN, Bernard; HILL, David R.; Introdução à álgebra linear com aplicações.

Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais

Definição:

Um espaço vetorial real é um conjunto V de elementos juntamente com duas operações + e   que satisfazem as seguintes propriedades:

Se u e v são quaisquer elementos de V então u + v está em V (i. e., V é fechado em relação à operação +).

a)    u + v = v + u, para u e v em V.

b)    u + ( v + w) = ( u + v ) + w, para u, v e w em V.

c)     Há um elemento 0 em V tal que u + 0 = 0 + u, para todo u em V.

d)    Para todo u em V, há um elemento -u em V tal que u + -u = 0.

Se u é qualquer elemento de V e c é qualquer número real, então c  u está em V (i. e., V é fechado em relação à operação  ).

e)    c ∙ ( u + v ) = c ∙ u + c ∙ v, para todos os números reais c e todos u e v em V.

f)    ( c + d ) ∙ u = c ∙ u + d ∙ u, para todos os números reais c e d e todo u em V.

g)     c ∙ ( d ∙ u ) = ( cd ) ∙ u, para todos os números reais c e d e todo u em V.

h)    1 ∙ u = u, para todo u em V.

Teorema

Se V é um espaço vetorial, então:

a) 0  u = 0 Ɐ u ϵ V

b) c   0 = 0 Ɐ c ϵ R

c) se c  u = 0, então c = 0 ou u = 0

d) (-1)  u = - u  Ɐ u ϵ V


OBS: elementos em negrito são vetores e elementos em negrito e caixa alta são conjuntos

Referências

KOLMAN, Bernard; HILL, David R.; Introdução à álgebra linear com aplicações.